省略掉一些基础定义的介绍。
对于四加速有A²=(A¹)²-(A⁰)²
即(d²x/dτ²)²-(cd²t/dτ²)²=A²
然后有四速v²=(v⁰)²-(v¹)²
(cdt/dτ)²-(dx/dτ)²=c²
根据双曲线性质令
dt/dτ=coshη，(1/c)•dx/dτ=sinhη
带入四加速方程
d²x/dτ²=c[d(sinhη)/dη]dη/dτ
=c(coshη)dη/dτ
cd²t/dτ²=[d(coshη)/dη]dη/dτ
=c(sinhη)dη/dτ
得到(dη/dτ)²=w²/c²
取半支dη/dτ=w/c
η=w/c•τ+const
设质点初始相对静止，则有
d²x/dτ²=dU¹/dτ=A•cosh(A/c•τ)=A
(τ初始为0，U¹是四速的空间分量=γv）
由上面得到微分方程
dt=cosh(A/c•τ)dτ
dx=c•sinh(A/c•τ)dτ
积分得到
ct=(c²/A)sinh(A/c•τ)
x=(c²/A)cosh(A/c•τ)
消参得到x²-(ct)²=c⁴/A²，四加速物体运动方程
x=c²/A惯性系运动方程
x-c²/A=ct向前光运动方程
-x-c²/A=ct向后光
令c²/A=X，A/c•τ=T，变换到四加速物体的视角，
ct=Xsinh(T)
x=Xcosh(T）
→T=arctanh(ct/x)
X=√[x²-(ct)²]
x=c²/A 带入
T=arctanh(At/c)
X=c√[(c/A)²-t²]
消参X=(c²/A)√[1-(tanhT)²]惯性系
x-c²/A=ct带入
T=arctanh[t/(c/A+t)]
=arctanh[1-(c/A)/(c/A+t)]
[(c/A)/(1-tanhT)]-(c/A)=t
X=c√(c²/A²+2ct/A)
消参X=(c²/A)√[2/(1-tanhT)-1]向前光
-x-c²/A=ct带入
(c²/A)√[2/(tanhT+1)-1]向后光
图如下