【张量微积分需要的多元微积分基础】
偏导数、全微分、方向导数、梯度、极坐标、多元复合函数求导、曲线积分等
这些内容可以自己去了解，我认为只需要理解几何含义就行了，不用非得搞明白证明过程，毕竟我们只需要理解基本原理就行了，只是理解几何含义的话应该是非常简单的。

【多元微积分概述】
{偏导数}

当有一个多元函数时，可以把它想象成一个曲面，或者可以想象成一个平面，在这个平面中，输出值存在于每个点上，输出值由颜色表示，蓝色是负值，红色是正值，为了求多元函数的偏导数，需要选择一个方向，如果对x方向求导，就要假设y是常数，并对x微分，这就给出了f关于x的偏导数，也可以以同样的方式计算关于y的偏导数。
偏导数不遵循下面这种倒数关系。

当有多个变量的多个函数时，偏导数之间的关系比较复杂，不仅仅是用简单的倒数，需要一个叫雅可比矩阵的东西，这集不讨论雅可比矩阵。
{多元微积分链式法则}

假设有一个双变量的函数T，有x和y两个自变量，函数输出(x,y)点的温度，红色是正的，蓝色是负的。
假设有另一对函数，x(t)和y(t)作为时间的函数，在二维空间输出一个位置。

假如我们想知道温度对时间的导数，一种选择是将x(t)和y(t)带入函数T的表达式中，然后就可以对这个一元函数求导，就得到了温度对时间的导数。但对于像这样涉及嵌套函数的问题，还有一种更普遍的方法，可以利用多元链式法则。

多元函数中的每个输入变量都有一个链式法则，∂T/∂x=1，dx/dt=1，∂T/∂y=2y，dy/dt=2t-1，然后再用y(t)代替y，x(t)代替x，我们发现也能得到和之前一样的结果。

这个多元链式法则是及其重要的，是张量微积分中最重要的概念之一，如果想把它推广到任意数量的变量，可以把它写成求和式，或爱因斯坦求和约定的表达式，因为表达式中有一对哑标，一个是上标，一个是下标，自动省略了求和符号。
{梯度}
梯度是一个操作，它可以将标量场转化为向量场，它接收一个返回标量的函数，输出一个向量场，这个向量场中的矢量指向方向导数最大的方向，这些向量的大小告诉我们函数在这一点上的变化有多剧烈。


所以在这里你可以看到矢量箭头是如何指向远离函数的蓝色部分，指向函数的红色部分，箭头越大的地方越陡峭。

现在来计算，这里有个函数，对它应用梯度运算，在直角坐标系中，梯度向量是由偏导数组成的列向量，这对于其他坐标系来说是不正确的，但就目前而言，我们就用直角坐标系这个简单的例子，所以在直角坐标系中，只是把偏导数应用到函数上，这就给了我们从梯度得到的向量场，可以称为梯度向量场，就是右下角这个列向量。▽f表示对一个函数应用梯度运算。
什么是向量场？
M表示点在空间中的位置用，在空间中每一点都对应一个向量，这个向量由函数F(M)返回，例如图中的▽f，F(M)=(P(M),Q(M),R(M))，(P(M),Q(M),R(M))就表示向量场。

【方向导数】
偏导数告诉我们函数在x和y方向上的变化率，方向导数推广了这一点，给出了向量v在任意方向上的变化率，方向导数有很多表示法，这些表示法都是一样的，都意味着取一个函数f和一个方向向量v，并计算f在v方向上的变化率，图中这个极限等于向量v与▽f的点积。

我们可以假设向量v是(1/2,1)，计算这个点积，1/2+2y就是f沿着向量v的变化率，不同的方向会有不同的变化率。
【全微分】
全微分的方程如下

∂f/∂x就是函数在点(x0,y0)处沿着x轴方向的斜率， (∂f/∂x)dx就是函数在点(x0,y0)处沿着x轴方向的微分，也就是切线在z轴上的增量， (∂f/∂x)dx也是同理，画个示意图。

利用全微分方程可以很容易得出函数f(x,y)的微分

就像多元链式法则，全微分方程是张量微积分中一个极其重要的方程。

【曲线积分】
{对弧长的曲线积分}
计算曲线长度的方法：取一条曲线，把它分成直线段，然后把线段长度加起来，线段越小，答案越准确。

在第一行求和式中，每一项都只是一个线段的长度，取一个点的位置向量和下一个点的位置向量，并使它们相减来得到线段长，t代表点在横坐标上的位置，使Δt趋向于0并取极限，然后再乘上一个(Δt/Δt)，最后得到曲线积分的定义。你可以把d→R看作距离，dt看作时间，所以导数d→R/dt有点像速度矢量。你也可以认为d→R/dt是曲线的切向量，所以计算曲线的关键是切向量的大小，向量的大小是由点积的平方根给出的，然后我们要做一件疯狂的事情。

把多元链式法则应用到这里的dR/dt，得到一个大公式，然后再将这个大公式乘开，得到一个更大的公式，这个大公式非常非常重要。下面来看一个具体的例子。

假设有一条二维曲线，给出函数x(t)和y(t)，t是时刻，x和y是位置。
得到弧长的一种方法是计算切向量，所以可以通过对t求导来做到这一点，并将结果写在列向量中，然后再来计算这个向量的大小，根号(1+4t^2)就是速度矢量（切向量）的大小。
另一种方法是使用我们之前发现的大公式，这集不讲解这个大公式，反正结果是，变量相同的点积=1，中间那个点积=0，实际上这个公式简化了很多，只需要计算两个导数就能得到和之前一样的结果。
所以下面这个弧长公式是一个非常非常重要的公式。

这个公式不只可以是2维的，也可以是更多维的。
下面这三个公式是非常非常重要的。

分别是：多元链式法则，全微分公式，计算速度矢量（切向量）大小的公式

最后三个式子的确很重要，从几何的意义上，第一个就是矢量∂/∂t在基底{∂/∂xⁱ}的展开，第二个是对偶矢量df在对偶基底{dxⁱ}的展开，第三个的本质就是线元表达式，即度规在其基底{dxⁱdxʲ}的展开

【直角坐标系和极坐标系】
发明多个坐标系有两个原因
一是有些问题在某些坐标系中更容易解决，以圆形路径绕地球运动的物体的问题在极坐标系中更容易求解，极坐标的网格曲线是圆的。
二是因为坐标系是人类发明的，描述真实物理对象的物理定律不应该依赖人类发明的东西，所以在研究物理定律时，需要确保物理定律在所有坐标系中都有效。

假设有一个p点，要在坐标系中得到点p的坐标，可以在点p和原点之间画一个三角形，在直角坐标系中用网格线测量三角形的水平边和垂直边的长度，在极坐标系中同样使用三角形，但我们用斜边的长度来得到半径r，还有逆时针旋转的角度θ。
我们可以利用网格线来测量点p的坐标，那么坐标如何在直角坐标系和极坐标系之间转换？

答案就是运用这个三角形，这个三角形有x,y,r,θ。
cosθ=x/r，x=rcosθ
sinθ=y/r，y=sinθ
这两个方程帮助我们从直角坐标线转换到极坐标系
r^2=x^2+y^2，r=(x^2+y^2)^1/2
tanθ=y/x，θ=arctan(y/x)
这两个方程帮助我们从极坐标系转换到直角坐标系

下一个问题是，如何定义直角坐标系和极坐标系中的基向量？
我们可以通过观察坐标系来回答这个问题，在直角坐标系中，所有网格线平行且等距分布

如果让基向量消失，留下网格线，我们还是可以测量出基向量。
也可以用同样的方法来测量极坐标的基向量。向量eθ是网格曲线的切向量，垂直于向量er。

【直角坐标系和极坐标系】
{基向量是偏导数}

---直角坐标系下---

有两个位置向量R和Rh，位置向量也可以叫它位失，是指从原点出发的向量，向量Rh的终点比向量R的终点向右移动了一些，这两个向量之间的变化是深蓝色的向量。
再来看上图右边的式子，分子是深蓝色向量，h是指向量R的终点向右移动的距离，这个式子表示的是向量R对x的变化率，也可以说是向量R的偏导数。

如果从h=1开始，分子也就是深蓝色向量的模长是1，深蓝色向量是单位向量，再除以1，结果是一个单位向量。

如果h=1/2，深蓝色向量的模长是1/2，再除以1/2，结果还是一个单位向量
如果h=1/4，结果还会是一个单位向量
我们可以继续用一个越来越小的h，结果都会是得到一个单位向量，而这个向量实际上就是x方向上的基向量

所以上面这个极限就是基向量，所以基向量就是位置向量R的偏导数。
在上面这个式子中R和Rh都是函数，我认为这两个函数可以是张量，但是我没想出来这个张量的形式是什么样的，双线性形式肯定不行，因为函数接收的两个参数是标量，通过双线性形式会输出一个标量而不是向量，R(x,y)应该输出一个向量，不管了先放放。

我们也可以用相同的方法得到另一个基向量
我们也可以对极坐标系使用相同的方法

取一个位置向量R，让它沿着r坐标方向走一小步h，红色向量是位置向量Rh和R之间的变化，当h趋向于0时，取极限，就得到了向量R关于r的偏导数，它等于基向量er。基向量er在网格曲线的每一点上都指向不同的方向。

有一个位置向量R，让它沿着坐标曲线旋转，向量R和向量Rh之间的弧长是h，红色向量是向量Rh-向量R，当h趋向于0时，取极限，就得到了向量R关于θ的偏导数，也就是基向量eθ，基向量eθ是坐标曲线（我前面说网格曲线）的切线且垂直于基向量er。r是指半径，也就是原点到坐标的距离，当r越来越大时，基向量eθ的长度也会越来越长，这也很好理解，越大的圆θ角度对应的弧长越大。
很多教科书还多了一步，强制要求基向量eθ是一个单位向量，让偏导数除以一个r，但这样做打破了基向量与偏导数相等的想法。

在直角坐标系中，基向量ex和ey在空间中处处是常数，但在极坐标系中，在不同的点上，基向量er的方向不同，基向量eθ的长度和方向都不同。

【雅可比矩阵】
这集讲的是直角坐标系与极坐标系之间的变换矩阵

如果想得到某一点从直角坐标系到极坐标系的变换，需要将极基向量用笛卡尔基向量线性表示，而且极基向量在每一点上都在变化，我们想得到的是一种线性的基变换，由两组基向量表示的两个坐标系的原点是同一个点。怎样才能找到这个变换？

其实很简单，只要利用多元链式法则就能很容易得到这个变换。在上集中，我们知道了基向量等价于位置向量R的偏导数，所以我们可以把基向量看作偏导数，利用多元链式法则的规律，很容易就得到了变换中用到的系数，就是按照多元链式法则的规则把上面这个式子补完整就行了。

上集中讲的坐标如何从直角坐标系中转换到极坐标系中的规则，就是两个简单的式子，利用这两个式子可以将之前那两个多元链式法则的式子改写成上图这样，系数直接求导就行。

再次提醒一下，！！！这里的极基向量eθ没有化为单位矩阵，当坐标离原点越来越远，极基向量eθ的长度越来越大，所以在上面这个式子中出现了r；许多教科书会把极基向量eθ标准化，所以它的长度总是1，在这种情况下，你不会看到r，因为它们已经隐藏在极基向量的定义中了，作者将坚持使用不隐藏r的写法，这样确实更清晰！！！

我们可以把这些系数提取出来放到矩阵中，这个矩阵就是正变换矩阵，还可以把矩阵写成下面这样，感觉下面这个矩阵更常用一些，这个矩阵也可以称为雅可比矩阵。下面来看一些例子，直接看图把，应该不用解释。



所以利用这个雅可比矩阵，可以为空间中的每一点得到一个不同的正变换矩阵，虽然笛卡尔基向量是不变的，但极基向量在每一点上都不一样，所以不同的位置对应不同的正变换矩阵，意思就是空间里每一点都有不同的基变换。

【雅可比矩阵】
我们可以用同样的方法得到逆雅可比矩阵

先利用多元链式法则的规律将系数补上去

然后利用从极坐标系转换到直角坐标系的规则，求出变换的系数导数

再化简，所以右边就是逆雅可比矩阵

我们可以在任意点将坐标带入逆雅可比矩阵，得到该点的逆变换矩阵
雅可比矩阵和逆雅可比矩阵互为逆矩阵

把雅可比矩阵和逆雅可比矩阵相乘会得到单位矩阵，执行标准乘法规则得到右边的矩阵，如何简化这个矩阵？

先把注意力集中在左上角，根据多元链式法则的规则，左上角这一项等于1

然后对每一项使用同样的方法，发现可以化简成上面这个矩阵，dx/dx=1，dx/dy=0，dy/dx=0，dy/dy=1，dy/dx为什么是0呢？因为x的变化对y没有影响，你也可以这样想，例如z=f(x,y)，x和y都是自变量，都在定义域里，x的变化只会影响z，不会影响y。所以这个矩阵确实是单位矩阵。
利用爱因斯坦求和约定证明它们是互逆的

为了使用爱因斯坦求和约定，将这些变量替换为带有下标的字母

重写正逆雅可比矩阵，然后我们自己把矩阵相乘的结果列出来，图里没有，自己脑补，这个矩阵可以写成爱因斯坦求和约定表达式，实际上就是把4个多元链式法则合成一个求和式，这个表达式里相同的部分不能约，但是它是多元链式法则，好像很不直观。

【向量场的分量】
单个向量用基向量线性表示是很简单的，但这集我们要找出向量场矢量的分量。

这里有个向量场，空间中每个点都有一个向量，这集我们将处理一种常见的向量场。

这里有很多曲线，我们要在曲线上的每一点上定义一个向量，从曲线中得到向量场的方法是看看这些曲线的切向量集，这些切向量给出了一个定义在曲线各处的向量场。

我们可以把曲线看作是一个函数，它接收一些输入参数λ并输出一个向量R，我们可以把λ参数想象成时间，随着时间的推移，位置会变化，矢量R会改变并在空间中跟随曲线，如果想得到一个与曲线相切的向量，只需要计算R关于λ的导数，取一个位置向量和距离它一小步的另一个位置向量，求它们之间的差向量并除以h，当h趋向于0时，取这个表达式的极限，第一集的时候就说过，dR/dλ是曲线的切向量。

所以取一条曲线，应用这个过程，就得到了一个切向量在曲线上每一点的定义。

你可以看到这里有一个直角坐标系，在直角坐标系中，基向量在空间中到处是一样的，我们要做的是利用这些基向量测量沿曲线的切向量，因为曲线有无数个切向量。
利用基向量测量向量也很简单，在直角坐标系中利用多元链式法则展开dR/dλ，重新排列这个公式，右边相当于基向量的线性组合，这意味着dx/dλ和dy/dλ就是向量场的分量，它们告诉我们有多少基向量ex和ey构成向量。如果用c1代替x，c2代替y，我们就能用爱因斯坦求和预定重写这个多元链式法则，更紧凑的表达基向量和分量。

这两个式子看起来很不一样，但它们其实很相似，一个是向量如何被基向量线性表示，另一个是向量场如何被基向量线性表示。根据上面的公式，可以看出向量场（曲线的切向量）的分量是导数。下面来看一个圆形曲线的例子。

曲线的x坐标是2cos(λ)，y坐标是2sin(λ)，所以这条曲线只是一个半径为2的圆，以原点为中心，这条曲线给出的向量场是由切向量组成的，可以用多元链式法则展开这个向量场dR/dλ，我们想要的是方程里的系数，所以求导把系数算出来，所以向量场可以写成最后一行这个线性组合，也可以把这个向量场的分量写在笛卡尔基上，它是个列向量。
当λ等于0时，x=2,y=0，坐标位置是(2,0)，在该点处矢量的分量是(0,2)，看看该点处这个列向量，在图中是黄色的，向量只有大小和方向，它可以在任何位置上。
当λ等于Π/4时，x=2^0.5/2,y=2^0.5/2，坐标位置是(2^0.5/2,2^0.5/2)，在该点处矢量的分量是(-2^0.5,2^0.5)。
所以这个列向量确实包含了向量场中向量的分量。

【向量场的分量】

也可以用极坐标系来观察曲线，利用链式法则把这个向量场dR/dλ展开，只不过用的是不同的基向量，然后重新排列，系数就是向量场矢量的分量，系数是导数。也可以写成爱因斯坦求和约定表达式。


一个是向量，一个是向量场，两个式子是很相似的。下面还是来看刚才那个具体的例子。

先要把圆的表达式转换到极坐标系中

所以我们现在有了极坐标系下的参数方程r(λ),θ(λ)，还是老规矩，利用多元链式法则展开dR/dλ，r=2，所以r是个常数，所以dr/dλ=0，θ=λ，所以dθ/dλ=1，所以向量场的分量就是0和1，在曲线每点处都是0和1。

在极坐标系中，基向量er总是从原点向外，基向量eθ与基向量er垂直，列向量(0,1)则刚好就是基向量eθ，到了这一集我才意识到，由基向量eθ和基向量er所表示的坐标系也是直角坐标系…...，基向量eθ的长度等于它的起点与原点的距离，r=2，所以基向量eθ的长度也等于2。所以在这个例子中，向量场中的所有向量在r方向上没有分量，它们与基向量eθ的长度相同。

对于由dR/dλ给出的向量场（曲线切向量），可以利用多元链式法则在笛卡尔基或极基向量上展开它，在直角坐标系或极坐标系中，我们得到不同的向量场的分量。

【向量场的分量也是逆变的】
我们先来讨论向量的分量是如何逆变的，在后面讲向量场的分量的时候可以借鉴这里。

有一个向量v，可以把它写成旧基的线性组合或新基的线性组合，在新旧基之间改变的方式是利用正逆变换矩阵，利用正逆变换矩阵给出的变换系数。如果在旧基上展开向量v，我们可以使用逆变换矩阵和新基向量替换旧基向量，得到一个新基向量的线性组合，这意味着“分量~v”一定等于“分量v”乘以逆变换矩阵，最后我们得到了一个关于矢量分量如何变换的方程。
从旧基向量变换到新基向量，使用正变换矩阵，但当从旧向量分量变换到新向量分量，使用逆变换矩阵，所以基向量和向量分量以相反的方式变换，我们称向量的分量是逆变的，这种逆变行为也有几何意义。

当向量分量为1时，如果把基向量大小增加1倍，实际上把向量分量缩小了一半。
对于沿曲线的切向量的向量场，我们可以遵循同样的推理

先写出切向量的展开式，分别在笛卡尔基上展开和极基向量上展开，写出直角坐标系与极坐标系之间的正逆变换（正逆雅可比矩阵），这里的∂ci/∂pj是正雅可比矩阵，∂pi/∂cj是逆雅可比矩阵，（为什么雅可比矩阵元素的指标都是上标？之前写的都是下标），所以我们可以遵循之前的推理，在笛卡尔基上展开向量场，用极基向量和逆变换代替笛卡尔基，得到一个极基向量的线性组合，这意味着“分量dpi/dλ”等于“分量dcj/dλ”乘上一个逆雅可比矩阵，最后我们得到了向量场（曲线的切向量）分量的变换公式。
从笛卡尔基变换到极基向量，使用雅可比矩阵，但从旧向量场分量变换到新向量场分量，使用逆雅可比矩阵，所以向量场的分量是逆变的。

上面这4个公式其实不用去记，这4个公式的每一个都只是多元链式法则
第一行是直角坐标系上的多元链式法则
第二行是极坐标系上的多元链式法则
下面来举一个例子

先来看一个简单的坐标变换，用两个不同的基来表示一个单独的向量v，可以用逆变换矩阵把旧分量变换成新分量。

再来看一个向量场dR/dλ，逆雅可比矩阵能否正确的将笛卡尔向量分量变换成极向量分量？检验一下。

这里有一个逆雅可比矩阵，p在上，c在下，在上上集我们利用坐标在极坐标系中转换到直角坐标系中的规则计算了这些偏导数，得到第二个矩阵，因为现在讨论的是半径为2的圆的特殊情况，所以为x,y,r,θ定义了这些关于λ的参数方程，把这些参数方程代入第二个矩阵，得到第三个矩阵，所以这是逆变换矩阵。下面来验证这个逆变换矩阵是否能够正确的变换向量场的分量。

让逆变换矩阵乘以笛卡尔基上的分量，乘开，结果是正确的。
让向量场分量从极坐标系变换到直角坐标系上也是用同样的方法，不再描述。

【向量场的分量也是逆变的】
下面来总结一下

如图，逆雅可比矩阵将向量场分量从笛卡尔基上变换到极基向量上，雅可比矩阵将向量场分量从极基向量上变换到笛卡尔基上，这个规则与最初的坐标变换是一样的。


如图，基向量是协变的，向量场分量是逆变的
最后还有一件事

这些公式中的位置向量R，这个符号可以去掉，就像下面这样

它们仍然是多元链式法则，仍然有意义，即使不包括位置向量R

以后将不会把这些位置向量的导数称为基向量，而是把这些偏导数算子叫做基向量。导数算子怎么能被认为是向量？

因为导数算子也和向量一样，满足对数乘运算和相加运算封闭，可以用这些导数算子做线性组合。

还有每个导数算子都有一个与之相关联的方向，关于x或y或λ。所以在某种意义上，导数算子可以有一个大小和一个方向，就像普通向量。
这些偏导数算子也遵循正逆变换的规则。导数运算符其实是很有意义的，会在之后体会到。

试图摆脱位置向量R的主要原因是因为位置向量R要求定义一个原点，之后当我们处理曲面或叫做流形的东西时，不能依赖原点，所以位置矢量的概念是没有意义的，但是我们仍然可以讨论矢量和向量场。

【导数算子】
这集是可选内容，对导数算子没有疑问的可以不看
作者说：“当我决定要学广义相对论的时候，我开始在网上寻找资源和教科书，我在一大堆东西中发现了很多符号，突然，他们让我在四维弯曲空间中做张量微积分，他们给我灌输了很多概念，像微分和协变导数，我发现很难理解这些东西，所以当我开始做这些视频的时候，我决定尽我所能先一步步介绍这些概念。我想先从张量代数开始，在不做任何微积分的情况下讨论张量，然后我想谈谈张量微积分，但要保持简单，讨论平面空间中的张量微积分，只有在那之后，我才会继续讨论弯曲空间，微分几何，最后，我们将会带着所有数学继续研究广义相对论。现在，这种方法的问题是，我在张量微积分的部分引入了基向量作为偏导数的新定义，只处理平坦的空间，但在我们研究了微分几何中的曲面空间之前，你不会真正理解这个新的定义，所以在这集，我要跳到前面一点，看看曲面几何，帮助你理解为什么这些定义是有意义的，然后回来继续讨论张量微积分和平面空间。”

当我们取一个位置向量R和另一个位置向量Rh，向量Rh是向量R在x方向上向右走一小步，取它们的差的极限，当h趋向于0时，这个导数的结果是指向x方向的单位向量，所以这个导数dR/dx只是基向量ex的另一种思考方式。


对于沿变量λ参数化曲线的切向量，我们可以取一个位置向量R和另一个位置向量R(λ+h)，向量R(λ+h)沿着曲线向后一小步，可以通过取它们的差来计算曲线的切向量，当h趋向于0时，取极限，这让我们可以定义曲线上任何地方的切向量，曲线上任意给定点的DR/dλ就是切向量，然后我们可以把切向量展开，用多元链式法则将基向量ex和ey线性组合。
现在你会注意到，所有这些定义都是在二维平面上完成的，所以让我们试着看一个弯曲的二维平面，看看情况有什么不同。

每个人都熟悉的二维表面就是地球表面，它是一个近似球形的表面，考虑一个驾驶汽车沿着地球表面行驶的人，假设我们想得到车在地球表面行驶的速度，为了得到速度，我们需要使用位置向量，为了使用位置向量，需要定义一个原点，所以我们要把地球切开，在地球中心定义一个原点，然后画出初始位置矢量和车移动后的位置矢量，取这两个向量的差，取极限，得到一个速度矢量，这样做其实不太合理。首先，选择的原点实际上并不在表面上，我们选择了一个地表以外的原点；第二，切向量速度矢量实际上离开了我们正在研究的表面。所以这两个事实使得这种几何学成为外在的，在这个例子中，原点和速度矢量都是用三维空间定义的，但我们应该只研究二维球面。
你可能会觉得这好像不是什么大问题，但如果不是处理像地球表面这样处在三维空间里的球面，而是研究这样一张地图，地球表面不再处于三维空间中，没有方便的地方可以把原点定义在外面，应该如何定义位置向量？你可能会想，我们可以在地图上任意选取一点，让它成为原点，从那里开始画出位置向量，这种方法实际上有问题，向量应该是直的，但从原点到位置向量终点的路径是弯的（位置向量有时还很长），因为地球表面是弯的，球面哪都没有直线，所以实际上在球面上不可能画出直线，所以连接两点的位置向量会穿过球面。我们要研究的是不依赖额外维度的几何，这种几何叫做内在几何。
在广义相对论中，当我们研究四维时空几何时，我们要使用内在几何，四维时空是弯曲的，所以我们不能在弯曲的时空中画直线，这意味着我们不能画位置向量，不能在四维时空外选择原点，四维时空外的一点意味着宇宙外的一点，没人知道这意味着什么，所以在广义相对论中，被迫使用内在几何来研究时空。

但如果不能使用位置向量，如何表示速度？请看，现在已经在地图上画好网格线了，虽然不能在球面上画直线，但可以在地图上画直线，在地图上的直线实际上是曲线，我们仍然可以定义关于曲线的导数，仍然可以定义关于x或y的导数（我认为实际上依旧是借助了额外的维度，只是这里不承认罢了），所以我们不能用法向位置向量（从地球中心到表面的向量是法向量）来讨论球面上的方向，但可以用这些导数算子来讨论不同的方向，例如某点上关于x或y方向的偏导数。

如果有一些路径在弯曲空间中传播，我们仍然可以得出路径上每一点指向的方向，使用曲线积分定义里的导数，可以利用多元链式法则将d/dλ展开成基向量的线性组合，你不能认为这个方向向量连接了球面上的两点，这个导数只是给出了曲线在任意给定点的大致方向，导数给了我们一种方法来讨论曲面上的方向，以一种球面上弯曲固有的方式，不需要任何外部空间。也可以在四维时空中使用同样的方法。

旧的表示法使用向量空间中的实际向量，但新的表示法使用了导数算子的向量空间，它被正式的称为切向量空间，以tpm表示，他是曲面m上某一点p的导数的向量空间，（我认为实际上还是借助了额外的维度，只是这里不承认，改个名字叫切向量空间）。所以两钟向量来自不同的向量空间。
简单来说就是没法在内在几何中定义原点和空间外的向量，所以写成导数算子。

【对偶向量场】
在基础入门中已经介绍过了，对偶向量是一系列线段接收一个向量并产生一个标量。
先来重新解释一下微分中的符号d，通常我们认为符号d代表一个微小的变换，但现在要把d重新解释为不同的意思。先快速回顾一下微分。

关于微分我们可以回想一下如何计算曲线下的面积，通常我们把这个区域分成小的薄矩形，宽度为Δx，并将矩形的面积相加，当Δx趋向于0时，取极限，然后求和式变成一个积分，dx就像一个无限小的矩形宽度。
其实我自己一直认为将定积分解释为曲线下的面积不太好，因为这样没有体现出积分与原函数之间的联系，我认为定积分积的是高的变化量，把所有高的变化量积起来就是高，所以定积分的值等于两个原函数相减的值，积分等价于原函数，或定积分等价于两个原函数相减。画个示意图。

与我的解释不同的是，一般教科书上画积分图形的时候，被积的函数实际上是一个导函数，图形也是关于导函数和x的图形，当然导函数在x轴上每点的值不一样。

现在如果想在这个积分中改变变量，在这里用左上角这个公式来改变微分之间的变化。举个例子，u=sin(x)，放大sin函数，dx和du与du/dx有关，微分之间的转换因子du/dx是cos(x)，所以我们能在积分中换元。

微分公式可以推广到多维，有一个二元函数f(x,y)，如果把函数放大，放大的图形像一个平面，对于放大的图形，它的垂直高度的变化df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy，所以这就是二元函数的微分公式，它下面是特定函数的微分公式。
对偶向量的介绍在基础入门部分有讲解，可以自己去看，这里不再解释了。

2D对偶向量可以可视化为一系列线段，3D对偶向量可以可视化为一系列平面。
所以为什么说微分是对偶向量？

新的解释是，d是标量场的运算符，它可以把标量场变成对偶向量场，f只是一个空间，标量被分配给空间中的每个点，df也只是一个空间，一个对偶向量被分配给空间中的每个点，d算子如何把标量场变成对偶向量场呢？


如果在这里有一个标量场，在每个点都定义了一个标量，整个向量场是通过追踪这个返回标量的函数的level sets（平面上的点的集合），所以这个返回标量的函数的level sets是右边这样的，levelsets曲线是等值线，在这个例子中，中间那条曲线看起来很像标量场等于0的曲线（对应左图白色部分），右边那条曲线看起来很像标量场等于1的曲线，因为函数的值是向红色区域增加的。
我认为上面这段内容就是理解对偶向量场的关键了，之前在基础入门部分就学过如何将对偶向量可视化，将对偶向量可视化后，会得到一系列线段，其实可以将这些线段理解为等值线，只不过在对偶向量场中，这些等值线不再是直线，而是曲线。在最开始的时候，介绍过梯度运算，它可以将标量场变成向量场，而对偶向量场好像跟全微分有关，一个二元函数的微分就是全微分，df就是全微分。

在x=1,y=2处的对偶向量是（2,4），所以df=2dx+4dy，或许这里可以把df,dy,dx看作f,y,x，因为这个式子里已经没有变量了，那么2x+4y可以有许多不同的0次项，2x+4y=0，2x+4y=1，2x+4y=2等等，画出在这一点处对偶向量的图形。

所以在对偶向量场中每一点处都有不同的对偶向量，将这些微小的图形全部组合起来就是对偶向量场了，我只是为了方便举例，将不同0次项之间的差设的比较大，实际上应该设置的非常微小。这只是我自己的推理。